프리드버그 선형대수학 5판을 기준으로 함.
개념
- 벡터(vector)
: 크기와 방향을 모두 가진 물리량 (힘, 속도, 가속도) - 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law of vector addition) (그림 1)
kor : 시점이 O로 일치하는 두 벡터 P, Q의 합은 점 O에서 시작하는 벡터이고, 이는 P와 Q를 이웃한 변으로 하는 평행사번형의 대각선으로 나타난다.
eng : If two vectors acting simultaneously at a point can be represented both in magnitude(규모, 크기) and direction by the adjacent(인접한) sides of a parallelogram(평행사변형) drawn from a point, then the resultant(결과적인) vector is represented both in magnitude and direction by the diagonal(대각선) of the parallelogram passing through that point. - 스칼라 곱 ( scalar multiplication)
벡터에 실수를 곱하여, 벡터의 크기를 확대하거나 축소하는 연산
평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8가지 성질을 확인할 수 있다.
성질 1 모든 벡터 x, y에 대하여 x + y = y + x이다. (덧셈의 교환법칙)
성질 2 모든 벡터 x, y에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다. (덧셈의 결합법칙)
성질 3 모든 벡터 x에 대하여 x + 0 = x를 만족하는 벡터 0이 존재한다. (덧셈의 항등원 존재)
성질 4 각 벡터 x에 대하여 x + y = 0을 만족하는 벡터 y가 존재한다. (덧셈의 역원 존재)
성질 5 모든 벡터 x에 대하여 1x = x이다. (곱셈의 항등원 존재)
성질 6 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (ab)x = a(bx)이다. (곱셈의 결합법칙)
성질 7 모든 실수 a와 모든 벡터 x, y에 대하여 a(x + y) = ax + ay이다. (분배법칙)
성질 8 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (a + b)x = ax + bx이다. (분배법칙)
두 점 D, B를 이은 직선 위 임의의 점은 D를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 t에 대하여 tP의 형태로 표현할 수 있다. 반대로, D를 시점으로 하는 벡터 tP의 종점은 두 점 D, B를 지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점 D, B를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
x = Q + tP = Q + t(R - Q) (단, t는 임의의 실수이고, x는 직선 위 임의의 점)
벡터 R - Q 의 종점 A의 좌표는 B의 좌표에서 D의 좌표를 뺀 것과 같음.
이제 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C를 생각하자. 이 세 점은 하나의 평면을 결정하고, 지금가지 공부한 벡터의 성질을 이용하면 평면의 방정식을 구할 수 있다.
시점이 A이고 종점이 B, C인 두 벡터를 각각 u, v라고 하자. 세 점 A, B, C로 이루어진 평면 위 임의의 점 S는 A를 시점으로 하고, su + tv 형태인 벡터 x의 종점이다. 세 점 A, B, C를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
x = A + su + tv (단, s, t는 임의의 실수이고 x는 평면 위 임의의 점)
참고
프리드버그 선형대수학 5판
https://yerimoh.github.io/LIN11/